Question

20．設f'（x）是函數f（x）在R的導函數，對?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且?x∈[0，+∞），f'（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實數a的取值范圍為（-∞，1]．

Answer 1

分析 可構造函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數g（x）為奇函數．利用導數可得函數g（x）在R上是增函數，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，
∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，
故函數g（x）在（-∞，0）上也是增函數，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等價于f（2-a）-$\frac{（2-a）^{2}}{2}$≥f（a）-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1．
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，然后構造出關于a的不等式求解的思路，本題的關鍵是由已知條件構造出關于函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，然后結合其奇偶性解題是本題的關鍵．