Question

8．在平面直角坐標系中，點P是由不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y-4≥0\end{array}\right.$所確定的平面區(qū)域內的動點，M，N是圓x²+y²=1的一條直徑的兩端點，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 7

Answer 1

分析 設出M，N，P的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的公式進行轉化，利用數(shù)形結合轉化為線性規(guī)劃進行求解即可．

解答 解：∵M，N是圓x²+y²=1的一條直徑的兩端點，
∴設M（a，b），N（-a，-b），則滿足a²+b²=1，
設P（x，y），
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（a-x，b-y）•（-a-x，-b-y）=-（a-x）（a+x）-（b-y）（b+y）
=-a²+x²-b²+y²=x²+y²-（a²+b²）=x²+y²-1，
設z=x²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內的點到原點距離的平方，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則原點到直線x+y-4=0的距離最小，
此時d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則z=d²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x²+y²-1=8-1=7，
故選：D．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積以及線性規(guī)劃的應用，利用坐標系結合斜率數(shù)量積的公式轉化為線性規(guī)劃問題是解決本題的關鍵．考查學生的轉化能力．