Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接B₁C，過B作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F，
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求直線DE與平面 A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步證明線面垂直．
（2）先求出平面的法向量，進(jìn)一步利用d=

| AA1 • m |

| m |

求出距離．
（3）利用向量的夾角公式求解，但要注意用絕對(duì)值．

解答： 證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
（1）A（0，0，0，），A₁（0，0，2），E（1，1，

1

2

），B（1，0，0），
D（0，1，0），C（1，1，0），
∴

A1C

=(1，1，-2)  

BE

=(0，1，

1

2

)  

DE

=(1，0，

1

2

)
∴

A1C

•

BE

=0   

A1C

•

DE

=0
即A₁C⊥BE  A₁C⊥DE 
∵BE∩DE=E  
∴A₁C⊥平面EBD
（2）設(shè)平面A₁B₁C的一個(gè)法向量為

m

=（x，y，z），
則∴，令z=1，得

m

=（0，2，1）．
∵

AA1

=（0，0，2），
所以，根據(jù)點(diǎn)到直線間的距離公式：d=

| AA1 • m |

| m |

=

2

5

5

．
（3）由（2）知，得

m

=（0，2，1）．
∵

ED

=（-1，0，-

1

2

）
設(shè)

ED

與

m

所成角為θ，則  sinθ=|cos＜

m

，

ED

＞|=

| m • ED |

| m |•| ED|

=

1

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)；空間直角坐標(biāo)系，線面垂直的判定低定理，向量垂直的充要條件，直線與平面所成的角，點(diǎn)面的距離公式，向量的夾角公式，屬于高考常見題型．