Question

12．拋物線y²=2px（p＞0）與直線l：y=x+m相交于A、B兩點，線段AB的中點橫坐標為5，又拋物線C的焦點到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，則m=（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$或1
• B． -$\frac{13}{3}$或3
• C． -$\frac{1}{3}$或-3
• D． -$\frac{13}{3}$或1

Answer 1

分析 利用線段AB的中點橫坐標為5，可得p-m=5，利用拋物線C的焦點到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，可得|p+2m|=8，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=2px，焦點F（$\frac{p}{2}$，0）．
直線l：y=x+m．聯(lián)立兩個方程得：x²+2x（m-p）+m²=0．
△=4（m-p）²-4m²＞0，∴p（p-2m）＞0，∴p＞2m．
由題設(shè)可知，2（p-m）=10，∴p-m=5．
再由焦點到直線的距離為2$\sqrt{2}$．可得$\frac{|\frac{p}{2}+m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|p+2m|=8．
結(jié)合p-m=5，p＞0可得：p=$\frac{2}{3}$，m=-$\frac{13}{3}$，或p=6，m=1．
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點到直線距離公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．