【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，若將△BCD沿著BD折起至△BC'D，使得AD⊥BC'．

（1）求證：平面C'BD⊥平面ABD；

（2）求C'D與平面ABC'所成角的正弦值；

（3）M為BD中點，求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）；（3）．

【解析】

（1）先證明、，再利用面面垂直的判定即可得證；

（2）先證明面，再求即可得解；

（3）建立空間坐標系，分別求出兩面的法向量即可得解.

（1）過點作的垂線交于點，得，，∴，

又，∴，∴，∴，

又，且，平面，

∴平面，又平面，∴平面⊥平面；

（2）由（1）平面，可知：平面⊥平面，

又，平面平面，

∴面，∴與平面所成角為，

由（1）平面可知：，∴，∴，

∴，即與平面所成角的正弦值為；

（3）以為原點，、所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）可知，

，，，，

又為的中點，∴，

∴，，，

∴平面的一個法向量，

平面的一個法向量，

∴，

由圖可知二面角的大小為銳角，

∴二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2bx+8．

（1）設(shè)集合P＝{1，2，3}和Q＝{2，3，4，5}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上有零點且為減函數(shù)的概率？

（2）設(shè)集合P＝[1，3]和Q[2，5]，分別從集合P和Q中隨機取一個實數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上有零點且為減函數(shù)的概率？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），橢圓C上的點到焦點距離的最大值為9，最小值為1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求橢圓C上的點到直線l：4x﹣5y+40＝0的最小距離？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了了解學生對消防知識的了解情況，從高一年級和高二年級各選取100名同學進行消防知識競賽.下圖（1）和圖（2）分別是對高一年級和高二年級參加競賽的學生成績按分組，得到的頻率分布直方圖.

（1）請計算高一年級和高二年級成績小于60分的人數(shù)；

（2）完成下面列聯(lián)表，并回答：有多大的把握可以認為“學生所在的年級與消防常識的了解存在相關(guān)性”？

成績小于60分人數(shù)

成績不小于60分人數(shù)

合計

高一

高二

合計

附：臨界值表及參考公式：.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，邊，，所在直線的方程分別為，，.

（1）求邊上的高所在的直線方程；

（2）若圓過直線上一點及點，當圓面積最小時，求其標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3

（1）求橢圓的方程；

（2）已知P為直角坐標平面內(nèi)一定點，動直線l：與橢圓交于A、B兩點，當直線PA與直線PB的斜率均存在時，若直線PA與PB的斜率之和為與t無關(guān)的常數(shù)，求出所有滿足條件的定點P的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司近年來科研費用支出萬元與公司所獲得利潤萬元之間有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

x

2

3

4

5

Y

18

27

32

35

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤．

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：

參考數(shù)據(jù)：2×18+3×27+4×32+5×35=420

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點的直線交橢圓于兩點（均不與重合），記直線的斜率分別為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)，當直線變動時，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形和都是直角梯形，，，，，，，是的中點。

（1）求證：；

（2）已知是的中點，求證：；

（3）求直線與平面所成角的大小。

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