Question

4．已知定義在R上的函數(shù)f（x），周期為4，當x∈[0，4）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{2x-4，2≤x＜4}\end{array}\right.$，當x∈（-4，b）時，函數(shù)y=f（x）-1有5個零點，則實數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． （5，$\frac{13}{2}$]
• B． [5，$\frac{13}{2}$）
• C． （5，$\frac{13}{2}$）
• D． [5，$\frac{13}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)在[0，4）的解析式，分析f（x）-1=0的根，可得在（0，4）上，函數(shù)y=f（x）-1有2個零點，即x=1或$\frac{5}{2}$，結(jié)合函數(shù)的周期性，分析函數(shù)在（-4，0）與（4，8）上的零點情況，綜合分析即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，當x∈[0，4）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{2x-4，2≤x＜4}\end{array}\right.$，
若f（x）-1=0，即f（x）=1，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x=1}\\{0≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-4=1}\\{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
解可得x=1或$\frac{5}{2}$；
即在（0，4）上，函數(shù)y=f（x）-1有2個零點，即x=1或$\frac{5}{2}$，
又由函數(shù)f（x）的周期為4，
在（-4，0）上，函數(shù)y=f（x）-1有2個零點，即x=-3或-$\frac{3}{2}$，
在（4，8）上，函數(shù)y=f（x）-1有2個零點，即x=5或$\frac{13}{2}$，
當x∈（-4，b）時，函數(shù)y=f（x）-1有5個零點，必有5＜b≤$\frac{13}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的零點的判定以及函數(shù)的周期，關(guān)鍵是在一個周期中分析函數(shù)的零點個數(shù)．