【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C: +y2=1上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足 = .
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),
設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足 = .
可得(x﹣x0 , y)= (0,y0),
可得x﹣x0=0,y= y0 ,
即有x0=x,y0= ,
代入橢圓方程 +y2=1,可得 + =1,
即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;
(Ⅱ)證明:設(shè)Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),
=1,可得( cosα, sinα)(﹣3﹣ cosα,m﹣ sinα)=1,
即為﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1,
解得m= ,
即有Q(﹣3, ),
橢圓 +y2=1的左焦點(diǎn)F(﹣1,0),
由kOQ=﹣ ,
kPF= ,
由kOQkPF=﹣1,
可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
【解析】(Ⅰ)設(shè)M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),設(shè)P(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合M滿足橢圓方程,化簡整理可得P的軌跡方程;
span>(Ⅱ)設(shè)Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得m,即有Q的坐標(biāo),求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo),求得OQ,PF的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,即可得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi , P(ξi=0)=1﹣pi , i=1,2.若0<p1<p2< ,則( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
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【題目】設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)= ,其中集合D={x|x= ,n∈N*},則方程f(x)﹣lgx=0的解的個數(shù)是 .
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【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.
(Ⅰ)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn),且,若橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則的最小值為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)某圓錐的側(cè)面展開圖為圓心角為,面積為的扇形,求該圓錐的表面積和體積.
(2)已知直三棱柱的底面是邊長為的正三角形,且該三棱柱的外接球的表面積為,求該三棱柱的體積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,兩個頂點(diǎn)分別為,.過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線與的交點(diǎn)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:點(diǎn)在一條定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于,求的面積的最小值并求此時直線的方程;
(3)已知點(diǎn),若點(diǎn)到直線的距離為,求的最大值并求此時直線的方程.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).(10分)
(1)若a=﹣1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為 ,求a.
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