Question

【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C： +y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 = ．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點Q在直線x=﹣3上，且 =1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設M（x0 ， y0），由題意可得N（x0 ， 0），
設P（x，y），由點P滿足 = ．
可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0），
可得x﹣x0=0，y= y0 ，
即有x0=x，y0= ，
代入橢圓方程 +y2=1，可得 + =1，
即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；
（Ⅱ）證明：設Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
=1，可得（ cosα， sinα）（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即為﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
橢圓 +y2=1的左焦點F（﹣1，0），
由kOQ=﹣ ，
kPF= ，
由kOQkPF=﹣1，
可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．
【解析】（Ⅰ）設M（x0 ， y0），由題意可得N（x0 ， 0），設P（x，y），運用向量的坐標運算，結合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；
span>（Ⅱ）設Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），運用向量的數量積的坐標表示，可得m，即有Q的坐標，求得橢圓的左焦點坐標，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，即可得證．