【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為，．過點的直線交橢圓于，兩點，直線與的交點為．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求證：點在一條定直線上．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b；

（2）設直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x﹣2）．聯(lián)立方程組，得點M的坐標為（，），同理，點N（，）．由M，D，N三點共線，得k2=3k1，由此能證明點G恒在定直線x=4上．

(1)由橢圓兩個頂點分別為，題設可知

因為，即，所以．

又因為，所以．

所以，所求的橢圓的標準方程為.

(2)由題意知，直線與直線的斜率存在，故設直線的方程為，直線的方程為．

聯(lián)立方程組，消去y得，

解得點．同理，解得點.

由M，D，N三點共線，有，化簡得．

由題設可知與同號，所以．

聯(lián)立方程組，解得交點．將代入點G的橫坐標，

得．所以，點G恒在定直線上．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線x2=y，點A（﹣ ， ），B（ ， ），拋物線上的點P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數(shù)f′（x）的極值點是f（x）的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）
（Ⅰ）求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）證明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣ ，求a的取值范圍．

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【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C： +y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 = ．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點Q在直線x=﹣3上，且 =1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．
（Ⅰ）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點A的極坐標為（2， ），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），則下面結論正確的是（　�。�
A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，得到曲線C2
B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 個單位長度，得到曲線C2
C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，得到曲線C2
D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，得到曲線C2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，∠C=，AC=BC，M、N分別是BC、AB的中點，將△BMN沿直線MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小為，則B'N與平面ABC所成角的正切值是（ 　　）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線相切．

求：（1）求圓的方程；

（2）設直線與圓相交于兩點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？

若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直角坐標系xoy中，橢圓的離心率為，過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P(2,1)，直線與橢圓C相交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.

①求直線的斜率；②若，求直線的方程.

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