【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,兩個頂點分別為,.過點的直線交橢圓于,兩點,直線與的交點為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求證:點在一條定直線上.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)由已知得a=2.e==,由此能求出a,b;
(2)設直線A1M的方程為y=k1(x+2),直線A2N的方程為y=k2(x﹣2).聯(lián)立方程組,得點M的坐標為(,),同理,點N(,).由M,D,N三點共線,得k2=3k1,由此能證明點G恒在定直線x=4上.
(1)由橢圓兩個頂點分別為,題設可知
因為,即,所以.
又因為,所以.
所以,所求的橢圓的標準方程為.
(2)由題意知,直線與直線的斜率存在,故設直線的方程為,直線的方程為.
聯(lián)立方程組,消去y得,
解得點.同理,解得點.
由M,D,N三點共線,有,化簡得.
由題設可知與同號,所以.
聯(lián)立方程組,解得交點.將代入點G的橫坐標,
得.所以,點G恒在定直線上.
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【題目】如圖,已知拋物線x2=y,點A(﹣ , ),B( , ),拋物線上的點P(x,y)(﹣ <x< ),過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)
(Ⅰ)求b關于a的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(Ⅱ)證明:b2>3a;
(Ⅲ)若f(x),f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣ ,求a的取值范圍.
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【題目】設O為坐標原點,動點M在橢圓C: +y2=1上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點P滿足 = .
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)設點Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.
(Ⅰ)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)設點A的極坐標為(2, ),點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.
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【題目】已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+ ),則下面結論正確的是( 。
A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移 個單位長度,得到曲線C2
B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移 個單位長度,得到曲線C2
C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移 個單位長度,得到曲線C2
D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移 個單位長度,得到曲線C2
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【題目】如圖,∠C=,AC=BC,M、N分別是BC、AB的中點,將△BMN沿直線MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小為,則B'N與平面ABC所成角的正切值是( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知半徑為5的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標是整數(shù),且與直線相切.
求:(1)求圓的方程;
(2)設直線與圓相交于兩點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù),使得過點的直線垂直平分弦?
若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】直角坐標系xoy中,橢圓的離心率為,過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
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