已知函數(shù)f（x）=5sinx•cosx-5
3
cos2x+
5
2
3
（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的單調區(qū)間；
（3）f（x）的最大值和最小值．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調性
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質
分析：（1）根據(jù)二倍角公式，兩角和與差的正弦公式化簡可得解析式f（x）=5sin（2x-
π
3
），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求T的值．
（2）由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
可解得f（x）的單調遞增區(qū)間；由2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
3π
2
可解得單調遞減區(qū)間．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求得f（x）的最大值和最小值．
解答： 解：（1）∵f（x）=5sinx•cosx-5
3
cos2x+
5
2
3
=
5
2
sin2x-5
3
×
1+cos2x
2
+
5
2
3
=
5
2
sin2x-
5
3
2
cos2x=5sin（2x-
π
3
）
∴T=
2π
2
=π
（2）由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
可解得：x∈[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z）
由2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
3π
2
可解得：x∈[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]（k∈Z）
故f（x）的單調遞增區(qū)間是：[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]（k∈Z），單調遞減區(qū)間是：[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]（k∈Z）．
（3）f（x）max=5，f（x）min=-5．
點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角公式的應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調性等基礎知識，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線x=2，與雙曲線x2-
y2
b2
=1（b＞0）相交于A，B兩點，C（0，2c），O為坐標原點，且四邊形OABC是平行四邊形，則該雙曲線的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-4lnx，a∈R．
（1）當a=
1
2
時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）論f（x）的單調性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
，sin（x-
π
12
）），
b
=（sin（2x-
π
6
），2sin（x-
π
12
）），定義函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）令φ（x）=f（x+
π
4
），試畫出函數(shù)φ（x）在[0，π]這個周期內的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的不等式x2≤2-|x-m|至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)m的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∈（-
π
2
，0），cosα=
3
5
，則tanα等于（　　）
A、-
4
3
B、-
3
4
C、
4
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則
(a+b)2
cd
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=1oga（x+
a
x
-1）（a＞0且a≠1）的定義域為（0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知cosα=
1
3
，cos（α+β）=-
1
3
，且α、β∈（0，
π
2
），則cos（α-β）=（　�。�
A、-
10
2
27
B、-
2
2
3
C、
23
27
D、-
9
27

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