【題目】在數(shù)列中,若是整數(shù),且,且).

(Ⅰ)若 ,寫出的值;

(Ⅱ)若在數(shù)列的前2018項中,奇數(shù)的個數(shù)為,求得最大值;

(Ⅲ)若數(shù)列中, 是奇數(shù), ,證明:對任意, 不是4的倍數(shù).

【答案】(1) , , .(2) 前2018項中奇數(shù)的個數(shù)的最大值是1346.(3)詳見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)將, 代入遞推關系求解的值即可;

(Ⅱ)討論都是偶數(shù)時, 都是奇數(shù)時, 是奇數(shù), 是偶數(shù)時, 是偶數(shù), 是奇數(shù)時四種情況即可得解;

(Ⅲ)由是奇數(shù),分析得前4項沒有4的倍數(shù),假設存在最小正整數(shù),使得是4的倍數(shù),則均為奇數(shù),所以一定是偶數(shù),結合遞推關系即可推出矛盾,進而得證.

試題解析:

(Ⅰ)

,

.

所以 , .

(Ⅱ)(i)當都是偶數(shù)時, 是偶數(shù),代入得到是偶數(shù);

因為是偶數(shù),代入得到是偶數(shù);

如此下去,可得到數(shù)列中項的奇偶情況是偶,偶,偶,偶,…

所以前2018項中共有0個奇數(shù).

(ii)當都是奇數(shù)時, 是奇數(shù),代入得到是偶數(shù);

因為是偶數(shù),代入得到是奇數(shù);

因為是偶數(shù),代入得到是奇數(shù);

如此下去,可得到數(shù)列中項的奇偶情況是奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,…

所以前2018項中共有1346個奇數(shù).

(iii)當是奇數(shù), 是偶數(shù)時,

理由同(ii),可得數(shù)列中項的奇偶情況是奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,…

所以前2018項中共有1345個奇數(shù).

(iv)當是偶數(shù), 是奇數(shù)時,

理由同(ii),可得數(shù)列中項的奇偶情況是偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,…

所以前2018項中共有1345個奇數(shù).

綜上所述,前2018項中奇數(shù)的個數(shù)的最大值是1346.

(Ⅲ)證明:因為是奇數(shù),

所以由(Ⅱ)知, 不可能都是偶數(shù),只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三種情況.

因為是奇數(shù),且,所以也是奇數(shù).

所以為偶數(shù),且不是4的倍數(shù).

因為,

所以前4項沒有4的倍數(shù),

假設存在最小正整數(shù),使得是4的倍數(shù),

均為奇數(shù),所以一定是偶數(shù),

由于,且,

將這兩個式子作和,可得.

因為是4的倍數(shù),所以也是4的倍數(shù),

是最小正整數(shù)使得是4的倍數(shù)矛盾.

所以假設不成立,即對任意, 不是4的倍數(shù).

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