Question

已知函數f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，在下列結論中：
①π是f（x）的一個周期；
②f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱；
③f（x）在（-

π

2

，0）上單調遞減．
正確結論的個數為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：變形可得f（x+π）≠f（x），可判①錯誤；
可得f（

π

2

-x）=f（x），可判②正確；
換元t=sinx+cosx，可得y=

2t

t2-1

，求導數可判單調性．

解答： 解：∵f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，
∴f（x+π）=

1

sin(x+π)

+

1

cos(x+π)

=-

1

sinx

-

1

cosx

≠f（x），
∴π不是f（x）的周期，故①錯誤；
∵f（

π

2

-x）=

1

sin( π 2 -x)

+

1

cos( π 2 -x)

=

1

cosx

+

1

sinx

=f（x），
∴f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，故②正確；
設t=sinx+cosx，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

=

2t

t2-1

，
當x∈（-

π

2

，0）時，t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈（-1，1），
求導數可得y′=

2(t2-1)-2t•2t

(t2-1)2

=

-2t2-2

(t2-1)2

＜0，
∴函數單調遞減，故③正確．
故選：C

點評：本題考查三角函數的性質，涉及周期性和對稱性，以及導數法判函數的單調性，屬中檔題．