Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），短軸長為4，離心率為

2

2

，O為坐標(biāo)原點，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓E的短軸長為4，離心率為

2

2

，可得2b=4，e=

2

2

=

c

a

，又a²=b²+c²．解出即可．
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，△＞0，化為8k²-m²+4＞0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，

OA

⊥

OB

?x₁x₂+y₁y₂=0，可得3m²-8k²-8=0，由于直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，可得x2+y2=

8

3

，此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，而當(dāng)切線的斜率不存在時，也成立．

解答： 解：（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），短軸長為4，離心率為

2

2

，
∴2b=4，e=

2

2

=

c

a

，又a²=b²+c²．
解得

a2=8 b2=4

，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，化為8k²-m²+4＞0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（k₁x+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴k2=

3m2-8

8

≥0，
又8k²-m²+4＞0，
∴

m2＞2 3m2≥8

，∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，r=

2 6

3

，
所求的圓為x2+y2=

8

3

，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)滿足

OA

⊥

OB

．
綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△≥0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．