Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，E為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）求點(diǎn)D₁到平面EAC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC內(nèi)找一條直線(xiàn)BD₁與平行，根據(jù)中位線(xiàn)定理可知EF∥D₁B，滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的判定定理所需條件，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)D₁到平面EAC的距離為d，根據(jù)VD1-EAC=VA-ED1C建立等式關(guān)系可求出d，即可求出點(diǎn)D₁到平面EAC的距離．

解答：解：（1）證明：連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因?yàn)镕為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，
所長(zhǎng)F為AC、BD的中點(diǎn)．（3分）
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）設(shè)D₁到平面EAC的距離為d．
在DEAC中，EF^AC，且AC=

2

a，EF=

3

2

a，
所以S△EAC=

1

2

EF•AC=

6

4

a2，
于是VD1-EAC=

1

3

dS△EAC=

6

12

a2d．（9分）
因?yàn)?span id="vogjnl4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">VA-ED1C=

1

3

AD•S△ED1C=

1

3

a×

1

2

×

1

2

a×a=

1

12

a3，（11分）
又VD1-EAC=VA-ED1C，即

6

12

a2d=

1

12

a3，（13分）
解得d=

6

6

a，故D₁到平面EAC的距離為

6

6

a．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定以及點(diǎn)到平面距離的度量，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解的能力，屬于中檔題．