Question

17．如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD．
（1）求二面角A-PB-D的大��；
（2）在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE？若存在，確定E點的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）以向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DP}$為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．聯(lián)結(jié)AC，交BD于點O，取PA中點G，聯(lián)結(jié)DG．
推出AC⊥DB，AC⊥PD，證明AC⊥平面PBD．說明向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{DG}$分別是平面PBD與平面PAB的法向量．
令PD=AD=2，求出相關(guān)坐標(biāo)與向量，利用空間向量的數(shù)量積求解向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{DG}$的夾角余弦，得到二面角的大小．
（2）設(shè)E是線段PB上的一點，令$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PB}$（0＜λ＜1）．求出$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}$$+\overrightarrow{PE}$，通過$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}$=0，求解即可．

解答 解：（1）以向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DP}$為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．
聯(lián)結(jié)AC，交BD于點O，取PA中點G，聯(lián)結(jié)DG．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥DB．
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，∴AC⊥平面PBD．
∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB．
∴AB⊥平面PAD．
∵PD=AD，G為PA中點，∴GD⊥平面PAB．
故向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{DG}$分別是平面PBD與平面PAB的法向量．
令PD=AD=2，則A（2，0，0），C（0，2，0），∴$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0）．
∵P（0，0，2），A（2，0，0），∴G（1，0，1），∴$\overrightarrow{DG}$=（1，0，1）．
∴向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{DG}$的夾角余弦為θ，cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DG}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DG}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=120°，∴二面角A-PB-D的大小為60°．
（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC．
設(shè)E是線段PB上的一點，令$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PB}$（0＜λ＜1）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2）．∴$\overrightarrow{PE}$=（2λ，2λ，-2λ）．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}$$+\overrightarrow{PE}$=（-2+2λ，2λ，2-2λ）．
令$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}$=0，可得2-2λ-2（2-2λ）=0，得$λ=\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$，即點E是線段PB中點時，有AE⊥PC．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，空間向量的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．