Question

11．如圖，圓O的直徑為AB且BE為圓O的切線，點C為圓O上不同于A、B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與圓O交于D，與BE交于E，連結(jié)BD、CD．
（Ⅰ）求證：∠DBE=∠DBC；
 （Ⅱ）若HE=4，求ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BE為圓O的切線，BD為圓O的弦，根據(jù)弦切角定理得到一對角相等，再由AD為角平分線得到一對角相等，等量代換及圓周角定理即可得證；
（Ⅱ）由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再由第一問的結(jié)論∠DBE=∠DBH，求出ED的長即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵BE為圓0的切線，BD為圓0的弦，
∴根據(jù)弦切角定理知∠DBE=∠DAB，
由AD為∠DAB=∠DAC的平分線知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）解：∵⊙O的直徑AB，
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=4，
∴ED=2．

點評 此題考查了與圓有關(guān)的比例線段，圓周角定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．