Question

16．已知函數(shù)f（x）=|2x+a|-|2x-3|，a∈R．
（1）若a=2，求不等式f（x）≥-3的解集；
（2）若存在實(shí)數(shù)x使得f（x）≥2a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)表示出f（x）的最大值，解不等式|a+3|≥2a即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-5，x＜-1}\\{4x-1，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{5，x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）≥-3，得$\left\{\begin{array}{l}{4x-1≥-3}\\{-1≤x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或x＞$\frac{3}{2}$，
解得：-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，
∴x≥-$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集是[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）∵f（x）=|2x+a|-|2x-3|≤|2x+a-2x+3|=|a+3|，
當(dāng)且僅當(dāng)（2x+a）（2x-3）≥0且|2x+a|≥|2x-3|時(shí)，如取x=$\frac{3}{2}$“=”成立，
∴f（x）的最大值為|a+3|，∴|a+3|≥2a，
∵a≤0時(shí)，上式成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，a+3≥2a，∴0＜a≤3，
綜上，a的范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．