Question

12．某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水（A級(jí)水）達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo)）的概率為p（0＜p＜1）．經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè)，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放．
某廠現(xiàn)有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池，分別取樣、檢測(cè)．多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)．混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo)．若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水直接排放．
現(xiàn)有以下四種方案，
方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；
方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；
方案三：三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；
方案四：混在一起化驗(yàn)．
化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案的越“優(yōu)”．
（Ⅰ） 若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅱ） 若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一，二，四中哪個(gè)最“優(yōu)”？
（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計(jì)算2個(gè)A級(jí)混合樣本達(dá)標(biāo)的概率，再根據(jù)對(duì)立事件原理求得它們不達(dá)標(biāo)的概率；
（II）計(jì)算方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為ξ=4；
方案二：檢測(cè)次數(shù)為ξ₂，則ξ₂可能取值為2，4，6，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
方案四：混在一起檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為ξ₄，則ξ₄可取值為1，5，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
比較得出選擇方案幾最“優(yōu)”；
（III）方案三：化驗(yàn)次數(shù)為η₃，則η₃可取值為2，5，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
方案四：化驗(yàn)次數(shù)為η₄，則η₄可取值為1，5，求概率分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
由題意列不等式E（η₃）＜E（η₄），求出p的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）2個(gè)A級(jí)混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^2}=\frac{4}{5}$，…（2分）
所以根據(jù)對(duì)立事件原理，2個(gè)A級(jí)混合樣本不達(dá)標(biāo)的概率為$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$；…（4分）
（II）方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為ξ=4；
方案二：由（I）知，每組2個(gè)樣本的檢測(cè)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為1，概率為$\frac{4}{5}$；
若不達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為3，概率為$\frac{1}{5}$；
 故方案二的檢測(cè)次數(shù)為ξ₂，則ξ₂可能取值為2，4，6；
其概率分布列如下，

ξ2	2	4	6
P	${（{\frac{4}{5}}）^2}$	$C_2^1×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$	${（{\frac{1}{5}}）^2}$

可求得方案二的期望為$E（{ξ_2}）=2×\frac{16}{25}+4×\frac{8}{25}+6×\frac{1}{25}=\frac{70}{25}$；…（6分）
方案四：混在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為ξ₄，
則ξ₄可取值為1，5；其概率分布列如下：

ξ4	1	5
P	${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$	$1-{（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$

可求得方案四的期望為$E（{ξ_4}）=1×\frac{16}{25}+5×\frac{9}{25}=\frac{61}{25}$，…（8分）
比較可得E（ξ₄）＜E（ξ₂）＜4，故選擇方案四最“優(yōu)”；…（9分）
（III）方案三：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為η₃，則η₃可取值為2，5；
其概率分布為：

η3	2	5
P	p3	1-p3

數(shù)學(xué)期望為$E（{η_3}）=2•{p^3}+5（{1-{p^3}}）=5-3{p^3}$；…（10分）
方案四：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為η₄，則η₄可取值為1，5；
其概率分布為：

η4	1	5
P	p4	1-p4

數(shù)學(xué)期望為$E（{η_4}）=1•{p^4}+5（{1-{p^4}}）=5-4{p^4}$；…（11分）
由題意得E（η₃）＜E（η₄），所以5-3p³＜5-4p⁴，解得p＜$\frac{3}{4}$；
所以當(dāng)$0＜p＜\frac{3}{4}$時(shí)，方案三比方案四更“優(yōu)”…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，是概率分布中較難的題目．