Question

20．已知函數(shù)$f（x）=Asin（wx+φ）+B（A＞0，w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的 部分圖象如圖所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和對稱中心坐標(biāo)；
（3）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，在將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在$x∈[0，\frac{7π}{6}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求ω，由圖象及五點(diǎn)法作圖可知：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解f（x）的解析式；
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
令$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，可求f（x）的對稱中心的坐標(biāo)．
（3）由已知的圖象變換過程可得：$g（x）=2sin（x+\frac{2π}{3}）$，由$0≤x≤\frac{7π}{6}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求在$x∈[0，\frac{7π}{6}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由圖象可知$\left\{\begin{array}{l}A+B=1\\-A+B=⇒A=2，B=-1\end{array}\right.$，
又由于$\frac{T}{2}=\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}⇒T=π$，
所以$w=\frac{2π}{T}=2$，
由圖象及五點(diǎn)法作圖可知：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）-1$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）-1$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$，
令$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，
所以f（x）的對稱中心的坐標(biāo)為$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}-1），k∈Z$．
（3）由已知的圖象變換過程可得：$g（x）=2sin（x+\frac{2π}{3}）$，
因?yàn)?0≤x≤\frac{7π}{6}$，
所以$\frac{2π}{3}≤x+\frac{2π}{3}≤\frac{11π}{6}$，
所以當(dāng)$x+\frac{2π}{3}=\frac{3π}{2}$，得$x=\frac{5π}{6}$時(shí)，g（x）取得最小值$g（\frac{5π}{6}）=-2$，
當(dāng)$x+\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}$時(shí)，即x=0g（x）取得最小值$g（0）=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．