Question

15．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）是冪函數(shù)，且圖象過點$（3，\sqrt{3}）$，則f（x）在R上的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}，x≥0\\-\sqrt{-x}，x＜0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)當x＞0時，f（x）=x^α（α是常數(shù)），把點$（3，\sqrt{3}）$代入解析式求出α的值，即可求出x＞0時的解析式，設(shè)x＜0則-x＞0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出x＜0、x=0時的解析式，利用分段函數(shù)表示出來．

解答 解：由題意設(shè)當x＞0時，f（x）=x^α（α是常數(shù)），
因為當x＞0時，圖象過點$（3，\sqrt{3}）$，
所以f（3）=3^α=$\sqrt{3}$，解得$α=\frac{1}{2}$，
則當x＞0時，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，
設(shè)x＜0，則-x＞0，即f（x）=$\sqrt{-x}$，
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x）=$-\sqrt{-x}$，且x=0時，f（0）=0，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故答案為：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式，以及奇函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡、變形能力．