Question

9．我國古代數(shù)學家祖暅是著名數(shù)學家祖沖之之子，祖暅原理敘述道：“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．其最著名之處是解決了“牟合方蓋”中的體積問題，其核心過程為：如下圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求圖中四分之一圓柱體BB₁C₁-AA₁D₁和四分之一圓柱體AA₁B₁-DD₁C₁公共部分的體積V，若圖中正方體的棱長為2，則V=（　�。�  
（在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，截得錐體所得面積為S₃，${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 8
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，截得錐體所得面積為S₃，${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃，求出S₃=h²，再由定積分求出錐體體積，由正方體的體積減去錐體體積即可．

解答 解：在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，
記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，
截得錐體所得面積為S₃，
可得${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃，
由S₃=h²，可得${∫}_{0}^{2}$h²dh=$\frac{1}{3}$h³|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$．
則則V=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查不規(guī)則幾何體的體積的求法，考查祖暅原理的運用，以及定積分的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．