Question

5．已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②存在常數(shù)T＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）；
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函數(shù)f（x）在[0，π]上的最大值是$\frac{π}{2}$．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③（請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說明其不成立；
③找出一個(gè)常數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$不是函數(shù)的極值點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），∴函數(shù)為偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確；
對(duì)于②∵當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③∵|sinx₀|≤1，∴對(duì)任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M，故③正確；對(duì)于④，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$．∵f′（x）=sinx+xcosx，∴f′（$\frac{π}{2}$）=1，∴$\frac{π}{2}$不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故④不正確
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．