Question

17．一小型機械加工廠生產某種零件的年固定成本為15萬元，每生產1千件需另投入1.6萬元．設該加工廠一年內生產該種零件x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為P（x）萬元，且P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{11.6-\frac{1}{30}{x}^{2}，0＜x≤12}\\{\frac{106}{x}-\frac{250}{{x}^{2}}，x＞12}\end{array}\right.$
（1）寫出年利潤y（萬元）關于年產量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產量為多少千件時，該工廠在這種零件的生產中所獲得的年利潤最大．
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關系即可寫出年利潤W（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和最值，即可得到結論．

解答 解：（1）當0＜x≤12時，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（11.6-$\frac{{x}^{2}}{30}$）-（15+1.6x）=10x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-15．
當x＞12時，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（$\frac{106}{x}$-$\frac{250}{{x}^{2}}$）-（15+1.6x）=91-$\frac{250}{x}$-1.6x，
∴W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10x-\frac{{x}^{3}}{30}-15，}&{0＜x≤12}\\{91-\frac{250}{c}-1.6x，}&{x＞12}\end{array}\right.$．
（2）①當0＜x≤12時，由W′（x）=10-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=10，
又當x∈（10，12]時，W′（x）＜0，即W（x）在（10，12]上是減函數(shù)，
當x∈（0，10）時，W′（x）＞0，即W（x）在（0，10）上是增函數(shù)，
∴當x=10時，W（x）_max=W（10）=100-$\frac{100}{3}$-15=51$\frac{2}{3}$．
②當x＞12，W=91-$\frac{250}{x}$-1.6x=91-（$\frac{250}{x}$+1.6）≤91-2$\sqrt{\frac{250}{x}•1.6x}$=51，
當且僅當$\frac{250}{x}$=1.6x時，即x=$\frac{25}{2}$時，W（x）_max=51，
由①②知，當x=10時，W取最大值51$\frac{2}{3}$萬元．

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．