Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-4|，g（x）=a+x．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象求使f（x）≥g（x）恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,指數(shù)函數(shù)的圖像變換

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，化簡函數(shù)f（x）的解析式，分類討論求得不等式f（x）≥g（x）的解集．
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得f（x）的最小值為f（2）=4，由題意可得f（2）≥g（2），由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-4|=

-3x+2，x＜-2 -x+6，-2≤x≤2 3x-2，x＞2

，
不等式即f（x）≥x+3．
∴

x＜-2 -3x+2≥x+3

 ①或

-2≤x≤2 -x+6≥x+3

 ②或

x＞2 3x-2≥x+3

 ③．
解①求得x＜-2，解②求得-2≤x≤

3

2

，解③求得x≥

5

2

，
綜上可得，不等式的解集為（-∞，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（2）根據(jù)f（x）的解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合求得f（x）的最小值為f（2）=4，由于g（x）=a+x結(jié)合由題意可得f（2）≥g（2），即4≥a+2，求得a≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．