Question

已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[-1.5]=-2，[1.2]=1．設(shè)函數(shù)f（x）=[x[x]]，當(dāng)x∈[0，n），（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧�合A，則A中的元素個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：集合

分析：根據(jù)[x]的定義，分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)題意，可得：
[0，n）=[0，1）∪[1，2）∪[2，3）∪…[n-1，n），
當(dāng)x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0，只有1個(gè)，
當(dāng)x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，只有1個(gè)，
當(dāng)x∈[2，3），[x[x]]=[2x]∈{4，5}，有2個(gè)，
當(dāng)x∈[3，4），[x[x]]=[3x]∈{9，10，11}，有3個(gè)，
…
當(dāng)x∈[n-1，n）時(shí)，
[x[x]]=[（n-1）x]∈{（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1}，
共有n（n-1）-（n-1）²=n-1個(gè)，
∴所有A中的元素個(gè)數(shù)為1+1+2+3+4+…+（n-1）=

1

2

（n²-n+2），
故答案為：

1

2

（n²-n+2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與集合有關(guān)的新定義題，根據(jù)條件分別求出對(duì)應(yīng)范圍的個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．