Question

5．由半橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≥0）與半橢圓$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0．由右橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≥0）的焦點(diǎn)F₀和左橢圓$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂確定的△F₀F₁F₂叫做果圓的焦點(diǎn)三角形，若果圓的焦點(diǎn)三角形為銳角三角形，則右橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≥0）的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)“果圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，得到△F₁F₀F₂是以F₁F₂為底面的等腰三角形，從而可得：若△F₀F₁F₂為銳角三角形，則|0F₀|＞|0F₁|．由此建立關(guān)于a、b、c的不等式，結(jié)合橢圓離心率的公式與離心率的取值范圍解此不等式，即可算出右橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：連結(jié)F₀F₁、F₀F₂，根據(jù)“果圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，可得△F₁F₀F₂是以F₁F₂為底面的等腰三角形，
∵△F₀F₁F₂是銳角三角形，
∴等腰△F₀F₁F₂的頂角為銳角，即∠F₁F₀F₂∈（0，$\frac{π}{2}$）．
由此可得|0F₀|＞|0F₁|，
∵|0F₀|、|0F₁|分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≥0），$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的半焦距，
∴c＞$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$，平方得c²＞b²-c²，
又∵b²=a²-c²，
∴c²＞a²-2c²，解得：3c²＞a²，
∴3•（$\frac{c}{a}$）²＞1，解之得$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵右橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≥0）的離心率e=$\frac{c}{a}$∈（0，1），
∴離心率e的范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故答案選：C

點(diǎn)評(píng) 本題給出“果圓”滿足的條件，考查橢圓離心率的取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、不等式的解法等的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．