設(shè)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足以下條件:①對于任意實數(shù)a,b,都有f(a•b)=f(a)+f(b)-p,其中p是正實數(shù);②f(2)=p-1;(2)③x>1時,總有f(x)<p
(1)求f(1)及f(
12
)
的值(寫成關(guān)于p的表達式);
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
分析:本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識的綜合應(yīng)用問題.在解答時,對于(1)只需要利用特值得方法即可獲得解答;對于(2)要利用好條件③再結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可獲得解答.
解答:解:(1)∵f(a)+f(b)-P=f(a•b),
令a=b=1,則f(1)=P
f(1)=f(2•
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)-P
=f(
1
2
)+(P-1)-P=f(
1
2
)-1

f(
1
2
)=P+1

(2)設(shè)0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(
x2
x1
x1)

=f(x1)-f(
x2
x1
)-f(x1)+P
=P-f(
x2
x1
)

x2
x1
>1
,∴f(
x2
x1
)<P
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
點評:本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識的綜合應(yīng)用問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、函數(shù)單調(diào)性以及問題轉(zhuǎn)化的思想.值得同學(xué)們體會反思.
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