Question

8．設(shè)命題p：{x|x²-4ax+3a²＜0}（a＞0），命題q：{x|1＜x-1≤2}
（1）如果a=1，且p∧q為真時，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，由此利用p∧q為真，能求出實數(shù)x的取值范圍．
（2）若?p是?q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）當a＞0時，{x|x2-4ax+3a2＜0}
={x|（x-3a）（x-a）＜0}={x|a＜x＜3a}，
如果a=1時，命題p：{x|x²-4x+3＜0}，即：P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，
因為p∧q為真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．
故實數(shù)x的取值范圍是{x|2＜x≤3}．
（2）若?p是?q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件．
由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，
由題意得a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．
故實數(shù)a的取值范圍是{a|1＜a≤2}．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件及復合命題真假判斷的合理運用．