Question

18．已知三個(gè)不等式：（1）x²-2x-3＜0；（2）$\frac{x-2}{x-4}＜0$；（3）x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0（a＞0）．若同時(shí)滿足（1）（2）的x也滿足（3）．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出（1）（2）不等式的解集，根據(jù)不等式的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由x²-2x-3＜0得-1＜x＜3，
由$\frac{x-2}{x-4}＜0$得2＜x＜4，
若同時(shí)滿足（1）（2），則$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$，即2＜x＜3，
由x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0（a＞0）．得（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）＜0（a＞0），
若0＜a＜1則不等式的解為a＜x＜$\frac{1}{a}$．
若a=1，則不等式的解集為∅，
若a＞1，則不等式的解為$\frac{1}{a}$＜x＜a，
若同時(shí)滿足（1）（2）的x也滿足（3）．
即（2，3）是不等式x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0（a＞0）的子集．
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}$≥3，即0＜a≤$\frac{1}{3}$，
若a＞1，則a≥3，
綜上0＜a≤$\frac{1}{3}$或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用不等式解集的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．