Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=7，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=7，a₅+a₇=26，可得a₁+2d=7，2a₁+10d=26，解得a₁，d．即可得出．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．