Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=

2

2

AB．
（1）證明：BC₁∥平面A1CD；
（2）求二面角A₁-EC-C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，由三角形中位線定理得BC₁∥DF，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，CB的方向?yàn)閥軸正方向，CC₁的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．分別求出平面ECC₁的法向量和平面A₁CE的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-EC-C₁的余弦值．

解答： （1）證明：連接AC₁交A₁C于點(diǎn)F，
則F為AC₁的中點(diǎn)．又D是AB的中點(diǎn)，
連接DF，則BC₁∥DF．
因?yàn)镈F?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：由AC=CB=

2

2

AB，得AC⊥BC．
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，CB的方向?yàn)閥軸正方向，CC₁的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
設(shè)CA=2，則C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
∴

CA

=（2，0，0），

CE

=（0，2，1），

CA1

=（2，0，2）．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面A₁CE的法向量，
則

2y+z=0 2x+2z=0

，取x=2，得

n

=（2，1，-2）．
∵CA⊥CB，CA⊥CC₁，CB∩CC₁=C，
∴CA⊥平面ECC₁，
∴

CA

=（2，0，0）是平面ECC₁的一個(gè)法向量，
∴二面角A₁-EC-C₁的余弦值為

4

2× 9

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．