Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（4，1），且與x，y的正半軸交于點(diǎn)A，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線l的方程，使△OAB的面積最�。�
（2）求直線l的方程，是直線在兩坐標(biāo)上的截距之和最�。�
（3）求|PA|•|PB|最小時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），a，b＞0．則直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1，由于直線l過(guò)點(diǎn)P（4，1），可得

4

a

+

1

b

=1．利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由（1）可得：

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．a(chǎn)+b=(a+b)(

4

a

+

1

b

)=5+

4b

a

+

a

b

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）由

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．可得b=

a

a-4

＞0，（a＞4）．設(shè)t=|PA|•|PB|，則t²=[（a-4）²+1]•[16+（b-1）²]=[（a-4）²+1]•[16+(

4

a-4

)2]，設(shè)（a-4）²=m＞0，則t²=(m+1)(16+

16

m

)=32+16(m+

1

m

)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），a，b＞0．
則直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1，
∵直線l過(guò)點(diǎn)P（4，1），
∴

4

a

+

1

b

=1．
∴1≥2

4 a • 1 b

，化為ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=8時(shí)取等號(hào)．
∴△OAB的面積=

1

2

ab≥8．
∴取等號(hào)時(shí)直線l的方程為：

x

8

+

y

2

=1．
（2）由（1）可得：

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．
∴a+b=(a+b)(

4

a

+

1

b

)=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=6時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)直線l的方程為：

x

6

+

y

3

=1．
（3）由

4

a

+

1

b

=1，a，b＞0．可得b=

a

a-4

＞0，（a＞4）．
設(shè)t=|PA|•|PB|，
則t²=[（a-4）²+1]•[16+（b-1）²]
=[（a-4）²+1]•[16+(

4

a-4

)2]
設(shè)（a-4）²=m＞0，
則t²=(m+1)(16+

16

m

)=32+16(m+

1

m

)≥32+16×2

m× 1 m

=64，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1，即a=5，b=5時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)直線l的方程為：x+y=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．