若函數(shù)f(x)=
1
3
x3-4x+4.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)x∈[0,3],都有f(x)<c恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo),進(jìn)而分析出f′(x)>0和f′(x)<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間,進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,得到結(jié)論;
(2)由(1)可得f(x)在[0,2)上為減函數(shù),在(2,3]上為增函數(shù),比較f(0)與f(3)后得到函數(shù)的最大值,即可得到實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個(gè)解,則m值介于函數(shù)兩個(gè)極值之間,結(jié)合(1)的結(jié)論求出極值,即可.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=
1
3
x3-4x+4.
∴f′(x)=x2-4,
當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上為增函數(shù),在(-2,2)上為減函數(shù);
(2)由(1)知,f(x)在[0,2)上為減函數(shù),在(2,3]上為增函數(shù),
∵f(0)=4,f(3)=1,
故x∈[0,3]時(shí),f(x)的最大值為4,
若對(duì)x∈[0,3],都有f(x)<c恒成立,
則c>4,
(3)由(1)知,函數(shù)f(x)在x=-2時(shí),取極大值
28
3
,在x=2時(shí),取極小值-
4
3

若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個(gè)解,
-
4
3
<m<
28
3
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題,需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“|b|>|a|>0”是“
b
a
>1”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),
OA
=(2cos2x+a,2sinx),
OB
=(1,
3
cosx)(x∈R,a∈R,a是常數(shù)),設(shè)f(x)=
OA
OB

(1)求函數(shù)式f(x)關(guān)系式;
(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最小值為-1,求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

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4-2
3
的平方根是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N*),f(1)=5,6<f(2)<11,?x∈[
1
2
,
3
2
],f(x)-2mx≤1恒成立,則實(shí)數(shù)m的范圍是( 。
A、m≥0
B、m≥1
C、m≥
9
4
D、m≥
11
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不用求根公式,求函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并比較零點(diǎn)與3的大小.

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數(shù)列1,a,a2…an-1…的前n項(xiàng)和是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,D為BC邊的中點(diǎn),若
BC
=(2,0),
AC
=(1,4),則
AD
=(  )
A、(-2,-4)
B、(0,-4)
C、(2,4)
D、(0,4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

兩直線3x+4y-8=0,6x+8y+11=0間的距離為
 

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