Question

5．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得出過(guò)F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線方程，與另一條漸近線方程聯(lián)立即可解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入以線段F₁F₂為直徑的圓的方程，即可得出離心率e．

解答 解：不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=$\frac{a}$（x-c），
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵點(diǎn)M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}={c}^{2}$，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，熟練掌握雙曲線的漸近線及離心率、直線的點(diǎn)斜式、圓的方程是解題的關(guān)鍵．