Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，則a₆=$\frac{1}{11}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
則a₆=$\frac{1}{11}$．
故答案為：$\frac{1}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、取倒數(shù)法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．