Question

12．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x．
（1）畫出f（x）的簡圖，并求f（x）的解析式；
（2）利用圖象討論方程f（x）=k的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x．求出f（x）的解析式．作圖．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象與函數(shù)y=k的交點(diǎn)，即可判斷根的情況．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），當(dāng)x=0時(shí)，有f（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，
那么：f（-x）=x²+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-x²-2x
f（x）是定義在R上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$
（簡圖（如右圖） 
（2）根據(jù)圖象：當(dāng)k=±1時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-1＜k＜1時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)k＞1或k＜-1時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法．?dāng)?shù)形結(jié)合法判斷根的個(gè)數(shù)問題．屬于基礎(chǔ)題．