Question

19．定義在R上的函數(shù)f（x），f（0）≠0，f（1）=2，當(dāng)x＞0，f（x）＞1，且對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求f（0）的值．
（2）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0．
（3）若f（x）在R上為增函數(shù)，解不等式f（3-2x）＞4．

Answer 1

分析 （1）在已知等式中取a=b=0可得f（0）的值；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，利用已知條件可得f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$∈（0，1），結(jié)合已知可得答案；
（3）由已知等式求得f（2）=4，則不等式f（3-2x）＞4等價于f（3-2x）＞f（2），利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一次不等式求解．

解答 （1）解：令a=b=0，由f（a+b）=f（a）•f（b），得f（0）=f²（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
（2）證明：當(dāng)x＜0時，-x＞0，∴f（-x）＞1，
∵f（0）=f（x-x）=f（x）-f（-x）=1，
∴f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$∈（0，1），
又有x＞0，f（x）＞1，且f（0）=1，
∴對任意x∈R，都有f（x）＞0；
（3）解：∵f（1+1）=f²（1）=2²=4，且f（x）在R上為增函數(shù)，
∴f（3-2x）＞4可化為f（3-2x）＞f（2），
∴3-2x＞2，得x$＜\frac{1}{2}$．
∴不等式f（3-2x）＞4的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性的定義判斷函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．