Question

7．設(shè)a_n=$\frac{n-1}{n}$（$\frac{9}{10}$）ⁿ，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n、m，均有|a_n-a_m|＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 分析數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，不難給出|a_n-a_m|的取值范圍，進(jìn)而得到|a_n-a_m|＜$\frac{3}{5}$．

解答 證明：因?yàn)閍_n=$\frac{n-1}{n}$（$\frac{9}{10}$）ⁿ，當(dāng)$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}×\frac{10}{9}$=$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}×\frac{10}{9}$，
如果$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}×\frac{10}{9}$＞1，n＞$\sqrt{10}$，即n≥4，
如果$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}×\frac{10}{9}$＜1，n＜$\sqrt{10}$，即n≤3．
所以a₁＜a₂＜a₃＜a₄＞a₅＞a₆＞…，
又因?yàn)閚≥2時(shí)，a_n＞0，并且a₁=0，所以0≤a_n≤a₄
對(duì)任意的正整數(shù)n、m，
均有|a_n-a_m|的最大值為a₄-a₁=$\frac{3}{4}$×（$\frac{9}{10}$）⁴-0=$\frac{19683}{40000}$＜$\frac{24000}{40000}$=$\frac{3}{5}$，
所以對(duì)任意的正整數(shù)n、m，均有|a_n-a_m|＜$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式相結(jié)合，不等式的證明方法-放縮法，要求具有較強(qiáng)的分析，解決，轉(zhuǎn)化，計(jì)算等能力．