Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}，滿足b_n=a_n-a_n-1，n=1，2，3，…，如果a₀=0，a₁=1且{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{{2}^{n}}$=0，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出數(shù)列{b_n}的通項，利用疊加法求出數(shù)列{a_n}的通項，進(jìn)而求和，即可求極限．

解答 解：由題意，{b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1．
∵b_n=a_n-a_n-1，
∴a_n=（b₂+b₃+…+b_n）+a₁=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}-1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2-\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{2}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=2，
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項與求和，考查極限的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．