Question

已知向量

AB

=

a

+5

b

，

BC

=-2

a

+8

b

，

CD

=3（

a

-

b

），
（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）求證：

CA

=x

CB

+y

CD

（其中x+y=1）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行向量與共線向量,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理將點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題，關(guān)鍵要建立向量之間的倍數(shù)關(guān)系，用到向量運(yùn)算的基本知識(shí)．
（2）根據(jù)向量運(yùn)算，得到關(guān)于x，y的方程組，解得x=2，y=-1，即x+y=1，問題得證

解答： 解：（1）∵向量

AB

=

a

+5

b

，

BC

=-2

a

+8

b

，

CD

=3（

a

-

b

），
∴

BD

=

BC

+

CD

=-2

a

+8

b

+3（

a

-

b

）=

a

+5

b

，
∴

AB

=

BD

，
∴A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）∵

CA

=-

AC

=-（

AB

+

BC

）=-[（

a

+5

b

）+（-2

a

+8

b

）]=

a

-13

b

，
x

CB

+y

CD

=-x（-2

a

+8

b

）+3y（

a

-

b

）=（2x+3y）

a

-（8x+3y）

b

，
∵

CA

=x

CB

+y

CD

，
∴

2x+3y=1 8x+3y=13

，
解得x=2，y=-1，
故x+y=2-1=1，
∴

CA

=x

CB

+y

CD

（其中x+y=1）．

點(diǎn)評：本題考查向量線性運(yùn)算的基本知識(shí)，考查向量共線的判定方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，即將點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題．