Question

如圖，直四棱柱中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=3，AD=1，AA₁=2，CD=4，E是CD中點(diǎn)．
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求平面A₁C₁E與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)已知條件中的線段長(zhǎng)求出：BC²+BE²=CE²，所以BB₁⊥BE，進(jìn)一步證出：線面垂直．
（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出平面A₁EC₁的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量的夾角求出面面的夾角．

解答： （1）證明：在直四棱柱中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=3，AD=1，AA₁=2，CD=4，E是CD中點(diǎn)．
所以：過(guò)B點(diǎn)做BF∥AD
則：EF=1，CF=1
解得：BC=

2

，BE=

2

，CE=2
所以：BC²+BE²=CE²
則：BE⊥CB
又BB₁⊥平面ABCD，BE?平面ABCD
所以：BB₁⊥BE
所以：BE⊥平面BB₁C₁C
（2）解：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
所以：A₁（1，0，2），E（0，2，0），C₁（0，4，2）
則：

A1E

=(-1，2，-2)，

EC1

=(0，2，2)
設(shè)平面A₁EC₁的法向量為：

n

=(x，y，z)
所以：

n • A1E =0 n • EC1 =0

解得：

n

=(-4，-1，1)
由于

AA1

⊥平面ABCD
所以設(shè)平面ABCD的法向量為

m

和

AA1

共線，
所以：

m

=(0，0，2)
所以：cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

4

所以：平面A₁C₁E與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，法向量，向量的數(shù)量積，二面角的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．