Question

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則

9

x+y

+

4

z

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,基本不等式

專題：平面向量及應用

分析：利用數量積運算與三角形的面積計算公式可得x+y+z=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴bccos30°=2

3

，
化為bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=1．
∴x+y+z=1．
∴

9

x+y

+

4

z

=（x+y+z）(

9

x+y

+

4

z

)=13+

9z

x+y

+

4(x+y)

z

≥13+2

9z x+y • 4(x+y) z

=25，當且僅當3z=2（x+y）=

6

5

時取等號．
∴

9

x+y

+

4

z

的最小值是25．
故答案為：25．

點評：本題考查了數量積運算與三角形的面積計算公式、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．