【題目】給定空間中十個點，其中任意四點不在一個平面上，將某些點之間用線段相連，若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值.

【答案】15

【解析】

以這十個點為頂點、所連線段為邊得一個十階簡單圖G.

下面證明：圖G的邊數(shù)不超過15.

設(shè)圖G的頂點為，共有k條邊，用表示頂點的度.

若對均成立，則.

假設(shè)存在頂點滿足.不妨設(shè)，且與均相鄰.于是，之間沒有邊，否則，就形成三角形.從而，之間恰有n條邊.

對每個，至多與中的一個頂點相鄰（否則，設(shè)與 相鄰，則就對應(yīng)了一個空間四邊形的四個頂點，這與題設(shè)條件矛盾）.從而，與之間的邊數(shù)至多為

.

在這個頂點之間，由于沒有三角形，由托蘭定理，知至多有條邊.因此，圖G的邊數(shù)為

.

如圖所示給出的圖共有15條邊，且滿足要求.

綜上，所求邊數(shù)的最大值為15.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請問當(dāng)為何值時，平面，試證明你的結(jié)論.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點.

（1）若直線l的縱截距和橫截距相等，求直線l的方程；

（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線l的方程.

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【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形， ，點E在棱PB上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.

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【題目】①若直線與曲線有且只有一個公共點，則直線一定是曲線的切線；

②若直線與曲線相切于點，且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點，則在點附近，直線不可能穿過曲線；

③若不存在，則曲線在點處就沒有切線；

④若曲線在點處有切線，則必存在.

則以上論斷正確的個數(shù)是（ ）

A.0個B.1個C.2個D.3個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為有效預(yù)防新冠肺炎對老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，根據(jù)測試成績（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準，可知成績不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．

（Ⅰ）從抽取的12人中隨機選取3人，記表示成績優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，x R其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t),記 ,求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-4,-1]上的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.

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