Question

5．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的兩個(gè)根．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n-a_n}為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的兩個(gè)根．根據(jù){a_n}是遞增的等差數(shù)列，求得a₃=3，a₅=7，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)即可求得d和{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求b_n=3^n-1+（2n-3），根據(jù)等比和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）a₃，a₅是方程x²-10x+21=0的兩個(gè)根．由（x-3）（x-7）=0，{a_n}是遞增的等差數(shù)列知，
∴a₃=3，a₅=7，
∵a₅=a₃+2d，
∴d=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=3+（n-3）×2=2n-3，
∴a_n=2n-3，
（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知b_n-a_n=1×3^n-1=3^n-1，
∴b_n=3^n-1+a_n，
∴b_n=3^n-1+（2n-3），
{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，
T_n=（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）+[-1+1+3+…+（2n-3）]，
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n（-1+2n-3）}{2}$，
=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+n（n-2），
T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+n（n-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，考查等比和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查公式的應(yīng)用，屬于中檔題．