【題目】已知函數(shù).
(1)討論f(x)的單調性;
(2)證明:當﹣1<a<0時,f(x)存在唯一的零點x0,且x0隨著a的增大而增大.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)先求得函數(shù)的定義域,求得函數(shù)的導函數(shù),對分成等四種情況進行分類討論,由此求得的單調區(qū)間.
(2)時,由(1)得到的單調性,結合零點存在性定理判斷出存在唯一零點.令,由此對分離常數(shù),利用導數(shù)證得隨增大而增大.
(1)f(x)的定義域為(0,+∞);
;
①當a=0時,,則f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
②當a>0時,,而;
則f(x)在上單調遞減,在上單調遞增;
③當﹣1≤a<0時,f′(x)<0,則f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
④當a<﹣1時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減;
綜上,當a<﹣1時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減;
當﹣1≤a≤0時,f′(x)<0,則f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
當a>0時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增;
(2)由(1)得當﹣1<a<0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
∴f(x)至多有一個零點;
又﹣1<a<0;
∴,f(1)=a+1>0,;
令g(x)=x﹣1﹣lnx,則;
∴g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增;
g(x)≥g(1)=0,即x﹣1﹣lnx≥0,當且僅當x=1時取等號;
∴;
∴f(x)存在唯一得零點;
由f(x0)=0,得,即;
∵x0∈(1,+∞),;
∴,即a是x0的函數(shù);
設,x∈(1,+∞),則;
∴h(x)為(1,+∞)上的增函數(shù);
∴隨增大而增大,反之亦成立.
∴x0隨著a的增大而增大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的對稱中心為原點,焦點在軸上,焦距為,點在該橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于兩點,點位于第一象限,是橢圓上位于直線兩側的動點.當點運動時,滿足,問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】南北朝時,張邱建寫了一部算經(jīng),即《張邱建算經(jīng)》,在這本算經(jīng)中,張邱建對等差數(shù)列的研究做出了一定的貢獻.例如算經(jīng)中有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中間三人未到者,亦依等次更給”,則某一等人比其下一等人多得________斤金.(不作近似計算)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在上的單調函數(shù),且對任意的x∈都有,則方程的一個根所在的區(qū)間是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(1)當時,寫出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程;
(2)已知點,設直線l與曲線C交于A,B兩點,試確定的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有且只有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設函數(shù)的兩個零點為,,且,求證.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,且AB=,BC=1,E,F分別為AB,PC中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:平面PAC⊥平面PDE.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于函數(shù)有下列四個結論:
①是偶函數(shù);②的最小正周期為;③在上單調遞增;④的值域為.
上述結論中,正確的為( )
A.③④B.②④C.①③D.①④
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com