Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有且只有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個零點為，，且，求證.

Answer 1

【答案】（1）

（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)唯一的極大值，函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為極大值大于零，且時，時，即可，分類討論即可求出（2）變形方程，可得，是的兩根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，可得，即可證明不等式.

（1）解：，∴

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減.

∴

∵有且只有兩個零點，

∴，即，

且時，時，，函數(shù)有兩個零點，

若時，不符合題意，

若時，不符合，

若時，滿足，

綜上，若使有且只有兩個零點，∴

（2）證法一：

∵，∴，∴，∴，是的兩根

設(shè)，，，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∵，設(shè)，則必有，

構(gòu)造函數(shù)，，

∵，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，

又∵，在上單調(diào)遞減，

∴，∴，

∴，即；

∴，即.

證法二：不妨設(shè)，

∵，∴，即，

設(shè)，∴，∴，

∵，∴，

∵，要證，只需證，

即證，即證.

設(shè)，（），

∵，∴在單調(diào)遞增.

∵，∴，

∴，∴，即.

證法三：

不妨設(shè)，

∵，∴，

要證，只需證，

變形，得：，即.

設(shè)∴，設(shè)，（），

∵，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴成立，∴.