5.已知g(x)=mx,G(x)=lnx.
(1)設(shè)f(x)=$\frac{G(x)}{x}$+1,求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若G(x)+x+2≤g(x)恒成立,求m的取值范圍.

分析 (1)求切線上點,f(1)=1,得切點(1,1),求切線的斜率f'(1)=1=k,求切線;
(2))G(x)+x+2≤g(x)恒成立,即lnx+x+2≤mx在(0,+∞)恒成立,
∴m-1≥$\frac{lnx+2}{x}$在(0,+∞)恒成立,令h(x)=$\frac{lnx+2}{x}…(x>0)$,求出h(x)的最大值,從而求出m的范圍.

解答 解:(1)f(x)=$\frac{G(x)}{x}$+1=$\frac{lnx}{x}$+1,f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
f(1)=1,即切點(1,1),切線斜率k=f'(1)=1,
∴切線方程為y-1=k(x-1)=x-1,∴y=x為所求切線方程.
令f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0⇒x=e,
當(dāng)在(0,e)上,f′(x)>0,∴f(x)遞增區(qū)間為:(0,e),
當(dāng)在(e,+∞)上,f′(x)<0,∴f(x)遞減區(qū)間為(e,+∞).
(2)G(x)+x+2≤g(x)恒成立,
即lnx+x+2≤mx在(0,+∞)恒成立,
∴m-1≥$\frac{lnx+2}{x}$在(0,+∞)恒成立,
令h(x)=$\frac{lnx+2}{x}…(x>0)$∴h′(x)=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$,
令h′(x)>0,解得:0<x<$\frac{1}{e}$,令h′(x)<0,解得:x>e,
∴h(x)在(0,$\frac{1}{e}$)遞增,在($\frac{1}{e}$,+∞)遞減,∴h(x)max=h($\frac{1}{e}$)=e,
∴m-1≥e,∴m≥e+1.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、切線問題,考查了函數(shù)恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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15.2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數(shù)據(jù)顯示,天貓元旦當(dāng)天全天的成交金額為315.5億元.為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況,某統(tǒng)計部門隨機(jī)抽查了1月1日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況,得到如表數(shù)據(jù)統(tǒng)計表,已知網(wǎng)購金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為0.4.
網(wǎng)購金額(元)頻數(shù)頻率
(0,500]50.05
(500,1000]xp
(1000,1500]150.15
(1500,2000]250.25
(2000,2500]300.3
(2500,3000]yq
合計1001.00
(1)先求出x,y,p,q的值,再將如圖所示的頻率分布直方圖繪制完整;
(2)對這100名網(wǎng)購者進(jìn)一步調(diào)查顯示:購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人,購物金額在2000元以下(含2000元)的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人,請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)?
x網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年合計
購物金額在2000元以上35
購物金額在2000元以下20
總計100
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)

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16.設(shè)變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{y≥3x-6}\end{array}\right.$,則$\frac{y+1}{x}$最小值為$\frac{1}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.下列四組中的f(x),g(x),表示同一個函數(shù)的是( 。
A.f(x)=1,g(x)=x0B.f(x)=x-1,g(x)=$\frac{{x}^{2}}{x}$-1
C.f(x)=x2,g(x)=($\sqrt{x}$)4D.f(x)=x3,f(t)=t3

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20.若命題p:?x0∈R,ax02+4x0+a≥-2x02+1是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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10.設(shè)命題p:函數(shù)$f(x)=lg(a{x^2}-x+\frac{a}{16})$的定義域為R;命題q:3x-9x<a對一切的實數(shù)x恒成立,如果命題“p且q”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.a<2B.a≤2C.a≥2D.a>2

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17.已知向量$\overrightarrow a$=(k,1),$\overrightarrow b$=(1,0),$\overrightarrow c$=(-2,k).若$(2\overrightarrow a$+$\overrightarrow b)⊥\overrightarrow c$⊥$\overrightarrow{c}$,則k=-1.

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14.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,EF∥AB,EF⊥EA,AB=2EF=2,∠AED=90°,AE=ED,H為AD的中點.
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15.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x^2}$.
(1)判斷并用定義證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并用定義證明函數(shù)在(-∞,0)上的單調(diào)性.

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