Question

15．已知函數f（x）=$\frac{1}{x^2}$．
（1）判斷并用定義證明函數的奇偶性；
（2）判斷并用定義證明函數在（-∞，0）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數的奇偶性定義求證即可；
（2）直接利用函數單調性的定義求證即可；

解答 （1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），它關于原點對稱，
且$f（-x）=\frac{1}{{{{（-x）}^2}}}=\frac{1}{x^2}=f（x）$，
∴f（x）為偶函數．
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}$=$\frac{{（{x_2}+{x_1}）（{x_2}-{x_1}）}}{{{{（{x_2}{x_1}）}^2}}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，${（{x_2}{x_1}）^2}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數．

點評 本題主要考查了函數的單調性定義證明，以及函數奇偶性定義證明，屬中等題．