【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)，若直線斜率為，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

【答案】（1）（2），直線的方程為

【解析】

(1)有題意有可求解.
(2)先討論特特殊情況, 是否為原點(diǎn)，然后當(dāng)的斜率存在時(shí), 設(shè)的斜率為,表示出的長(zhǎng)度，進(jìn)一步表示出的面積,然后求最值.

解：（1）由題設(shè)知

，

橢圓的方程為：

（2）法一： 為的中點(diǎn)

又

1）當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)、為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的斜率為

設(shè)，，則，代入橢圓方程

整理得：

，

到的距離

解一：令

令

或

函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

時(shí)，為的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

直線方程為

解二：設(shè)，則

要得的最大值

，

當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立

，直線方程為

2）當(dāng)不為原點(diǎn)時(shí)，由，

，，三點(diǎn)共線

，設(shè)，，，

的斜率為

，，

，在橢圓上，

得

，即

設(shè)直線代入橢圓方程，整理得

，

到直線的距離

令，，

令，，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

，

，此時(shí)直線

綜上所述：，直線的方程為

解二：設(shè)，，為的中點(diǎn)，在橢圓上

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)則，

， 所以

，則，為短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)

當(dāng)直線的斜存在時(shí)，設(shè)，

消去得

,

，

由得

或

下同解法一

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線與軸交于兩點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線的普通方程及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在曲線上，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x．

（1）求f（0）及f（f（1））的值；

（2）求函數(shù)f（x）的解析式；

（3）若關(guān)于x的方程f（x）﹣m＝0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)且，命題：集合，且.

（1）若命題中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)皆為真命題時(shí)，的取值范圍為集合，已知，若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，我國(guó)自主研發(fā)的長(zhǎng)征系列火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著我國(guó)在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為，去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度，假設(shè)，，，是以為底的自然對(duì)數(shù)，，.

（1）如果希望火箭飛行速度分別達(dá)到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時(shí)，求的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）.

（2）如果希望達(dá)到，但火箭起飛質(zhì)量最大值為，請(qǐng)問的最小值為多少（精確到小數(shù)點(diǎn)后面1位）？由此指出其實(shí)際意義.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)奇函數(shù)而非偶函數(shù).

（1）寫出的單調(diào)性（不必證明）；

（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求與的值；

（3）設(shè)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)有零點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對(duì)我國(guó)申辦年足球世界杯的態(tài)度，隨機(jī)選取了位市民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

支持

不支持

合計(jì)

男性市民

女性市民

合計(jì)

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

（i）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；

（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人，求至多有位老師的概率.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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