Question

5．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A′，連接EF，A′B．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求直線A′D與平面EFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后證明A'D⊥EF．
（Ⅱ）方法一：說明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A'-xyz，求出相關點的坐標，求出平面DEF的一個法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線A'D與平面EFD所成角的正弦值即可．
方法二：連接BD交EF于點G，連接A'G，說明∠A'DG直線A'D與平面EFD所成角通過求解三角形，求解直線A'D與平面EFD所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
則A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）
又A′E∩A′F=A′
∴A′D⊥平面A′EF…（6分）
而EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF…（7分）
（Ⅱ）方法一：∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF=A′E=A′F=1

∴$EF=\sqrt{2}$∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F
由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，
∴分別以A′E，A′F，A′D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A′-xyz，…（9分）
則A′（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（0，0，2）
∴$\overrightarrow{DE}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{DF}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{A′D}=（0，0，2）$
設平面DEF的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=x-2z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=y-2z=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n_1}=（2，2，1）$…（11分）
令直線A′D與平面EFD所成角為α，∴$sinα=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{A′D}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{A′D}|}}}|=\frac{2}{{\sqrt{4+4+1}•2}}=\frac{1}{3}$…（14分）
∴直線A′D與平面EFD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$…（15分）
方法二：連接BD交EF于點G，連接A′G
∵在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF，DE=DF，
∴點G為EF的中點，且BD⊥EF
∵正方形ABCD的邊長為2，∴A′E=A′F=1，∴A′G⊥EF，EF⊥平面A′GD，∴A′在面EFD的射影在BD上，…（9分）
則∠A′DG直線A′D與平面EFD所成角…（11分）


由（Ⅰ）可得A′D⊥A′G，
∴△A′DG為直角三角形
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴$BD=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，
∴$BG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$DG=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
又A′D=2
∴$A′G=\sqrt{D{G^2}-A′{D^2}}=\sqrt{\frac{9}{2}-4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（14分）
∴$sin∠A′DG=\frac{A′G}{DG}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{1}{3}$
∴直線A′D與平面EFD所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$…（15分）

點評 本題考查空間向量數(shù)量積的應用，直線與平面市場價的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．