Question

20．如圖所示，要測(cè)量河兩岸P，Q兩點(diǎn)之間的距離，在與點(diǎn)P同側(cè)的岸邊選取了A，B兩點(diǎn)（A，B，P，Q四點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．并測(cè)得AP=20m，BP=10m，∠APB=60°，∠PAQ=105°，∠PBQ=135°．試求P，Q兩點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 連結(jié)AB，在△APB中分別由余弦、正弦定理求出未知的邊和角，由條件求出∠BAQ、∠ABQ，在△ABQ中分別由正弦、余弦定理求出AQ和PQ即可．

解答 解：連結(jié)AB，如圖：
在△APB中，由余弦定理得，
AB²=AP²+BP²-2AP×BP×cos∠APB
=400+100-2×20×10×$\frac{1}{2}$=300，
則AB=10$\sqrt{3}$（m），
由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠APB}=\frac{AP}{sin∠ABP}$，
則$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{sin∠ABP}$，得sin∠ABP=1，即∠ABP=90°，所以∠BAP=180°-90°-30°=60°，
因?yàn)椤螾AQ=105°，∠PBQ=135°，所以∠BAQ=75°，∠ABQ=45°，
則∠BQA=180°-75°-45°=60°，
在△ABQ中，由正弦定理得$\frac{AQ}{sin∠ABQ}=\frac{AB}{sin∠AQB}$，
則$\frac{AQ}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得AQ=10$\sqrt{2}$（m），
在△APQ中，PQ²=AP²+AQ²-2AP×AQ×cos∠QAP
=400+200-2×20×10$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）
=400+200$\sqrt{3}$=100（4+2$\sqrt{3}$）=100$（1+\sqrt{3}）^{2}$，
所以PQ=10（$\sqrt{3}$+1）（m），
故P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10（$\sqrt{3}+1$）m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦、正弦定理在實(shí)際中的綜合應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．